23 Nov 2017

Mecánica de Fractura y Fatiga - Integral J

La integral J es una integral de linea alrededor del frente de grieta (ver figura 1) y es independiente del camino de integración que se tome entorno a la grieta. La misma es de gran importancia en la Mecánica de la fractura elasto-plástica (válida también para MFEL). La integral de línea debe cerrar un circuito comprendido entre los labios superior e inferior de la grieta.

La integral $J$ se define de la siguiente manera:

$$ \begin{eqnarray} J &=& \int W dy - \int \overline{T} \frac{\partial \overline{u}}{\partial x} ds \end{eqnarray} $$ eq.1

En donde:

$$ \begin{eqnarray} W &=&\frac{1}{2}(\sigma_{xx}\epsilon_{xx}+ \sigma_{yy}\epsilon_{yy}+\sigma _{xy} \gamma _{xy})\\ \epsilon_{xx} &=& \frac{1}{E}\left [ \left (1-\nu ^{2}\right )\sigma_{xx}-\nu (1+\nu)\sigma_{yy}\right ] \\ \epsilon_{yy} &=& \frac{1}{E}\left [ \left (1-\nu ^{2}\right )\sigma_{yy}-\nu (1+\nu)\sigma_{xx}\right ]\\ \gamma_{xy} &=& \frac{\sigma_{xy}}{G} \end{eqnarray} $$

Mientras que:

$$ \begin{eqnarray} \int \overline{T} \frac{\partial \overline{u}}{\partial x} ds &=& \int_{\Gamma}\left ( \sigma_{xx} \frac{\partial u}{\partial x}+ \sigma_{xy} \frac{\partial v}{\partial x}\right )dy - \int_{\Gamma} \left ( \sigma_{xy} \frac{\partial u}{\partial x}+ \sigma_{yy} \frac{\partial v}{\partial x}\right )dx \end{eqnarray} $$

Fig. 1: Grieta de longitud $2a$ y camino de integración $\overline{ABCDEF}$.

La integral $J$ es aplicada al caso de estudio mostrado en la figura 1. La tensión aplicada es de $\sigma=100MPa$, la placa consiste de un acero con módulo de elasticidad $E=210GPa$ y $\nu =0.3$. La longitud de la grieta es $2a=2.4cm$

De esta forma la integral $J$ está compuesta de la suma de la misma en cada uno de los distintos segmentos, esto es:

$$ \begin{eqnarray} J &=&J_{AB}+J_{BC}+J_{CD}+J_{DE}+J_{EF} \end{eqnarray} $$

El cálculo de la integral $J$ a partir de la función $\phi=\sigma/\sqrt{1-\left (\frac{a}{z}\right )^{2}}$ en donde $z=x+iy$, se realizó utilizando un software de cálculo simbólico llamado Maxima. Los resultados para cada uno de los términos de la integral $J$ presentados en la ecuación eq.1 se muestran en las figuras 2 y 3. A partir de estas se evalúa la integral correspondiente a cada uno de los segmentos dando como resultado:

$$ \begin{eqnarray} J_{AB} &=&-336.739 \nonumber \\ J_{BC} &=&-288.634 \nonumber \\ J_{CD} &=& -382.876 \nonumber \\ J_{DE} &=& -288.634 \nonumber \\ J_{EF} &=& -336.739 \nonumber \\ J &=& 1633.622Pa\sqrt{m} \label{result} \end{eqnarray} $$ eq.2

Como sabemos que $J=\frac{K_{I}^{2}(1-\nu ^{2})}{E}$ (para MFEL), entonces:

$$ \begin{eqnarray} J &=& \frac{(\sigma \sqrt{\pi a})^{2}(1-\nu ^{2})}{E} \nonumber \\ J&=&\frac{(100MPa\sqrt{\pi 0.012})^{2}(1-0.3 ^{2})}{210GPa} \nonumber \\ J&=&1633.628Pa\sqrt{m} \label{result2} \end{eqnarray} $$

Como se puede observar el resultado en eq.2¹ y eq.3 coinciden, de esta forma se verifica el valor calculado a partir de la formulación presentada en eq.1.